Всенародную известность Мягкову принесли роли в кино в фильмах Эльдара Рязанова — «Ирония судьбы, или С легким паром», «Служебный роман», «Гараж». Артист также сыграл в знаменитых картинах «Братья Карамазовы», «Дни Турбиных», «Жестокий романс» и многих других. В Художественном театре Мягков сыграл в таких спектаклях как «Чайка», «Утиная охота», «Дядя Ваня» и «Три сестры».